Рассмотрим задачу. Студент перед экзаменом выучил из 30 билетов билеты с номерами с 1 по 5 и с 26 по 30. Известно, что студент на экзамене вытащил билет с номером, не превышающим 20. Какова вероятность, что студент вытащил выученный билет?
Определим пространство элементарных исходов: W=(1,2,3,...,28,29,30). Пусть событие А заключается в том, чтостудент вытащил выученный билет: А = (1,...,5,26,...,30,), а событие В - в том, что студент вытащил билет из первых двадцати: В = (1,2,3,...,20)
Событие состоит из пяти исходов: (1,2,3,4,5), и его вероятность равна 5/30. Это число можно представить как произведение дробей 5/20 и 20/30. Число 20/30 – это вероятность события B . Число 5/20 можно рассматривать как вероятность события А при условии, что событие В произошло (обозначим её Р (А /В )). Таким образом, решение задачи определяется формулой
Р (А /В ) = P (А ÇВ ) /Р (B ) (2)
Р (А /В ) называется условной вероятностью события A при условии, что событие В произошло . Формулу (2) можно рассматривать, как определение условной вероятности . Эту же формулу можно переписать в виде
P (А ÇВ ) = Р (А /В )Р (B )(3)
Формула (3) называется формулой умножения вероятностей или теоремой умножения вероятностей, а условная вероятность Р (А /В ) здесь должна восприниматься просто по смыслу.
Пример 2 . Из урны, содержащей 7 белых и 3 черных шаров, наудачу один за другим извлекают (без возвращения) два шара. Какова вероятность того, что первый шар будет белым, а второй черным?
Пусть X – событие, состоящее в извлечении первым белого шара, а Y - событие, состоящее в извлечении вторым черного шара. Тогда – событие, заключающееся в том, что первый шар будет белым, а второй - черным. P (Y /X ) =3/9 =1/3 - условная вероятность извлечения вторым черного шара, если первым был извлечен белый. Учитывая, что P (X ) = 7/10, по формуле умножения вероятностей получаем: P () = 7/30
Событие А называется независимым от события В (иначе: события А и В называются независимыми), если Р (А /В )=Р (А ). За определение независимых событий можно принять следствие последней формулы и формулы умножения
P (А ÇВ ) = Р (А ) Р (B )
Докажите самостоятельно, что если А и В - независимые события, то и тоже являются независимыми событиями.
Пример 3 . Найти вероятность того, что при трёх бросках игральной кости три раза выпадет шестёрка. Очевидно, что при каждом броске результат не зависит от результатов предыдущих бросков, и искомая вероятность равна (1/6) 3 = 1/216.
Пример 4 . Определим в условиях этой задачи вероятность того, что при трёх бросках в сумме выпало 4 очка. Выпишем благоприятные исходы: “1–1–2”, “1–2–1”, “2–1–1”. Вероятность каждого из этих исходов равна 1/216. Так как все эти исходы несовместимы, интересующая нас вероятность будет равна 3/216 = 1/72.
Пример 5 . Из колоды карт в 32 листа извлекается одна карта. Пусть А – событие, состоящее в том, что извлечённая карта – дама. Событие В состоит в том, что извлечённая карта пиковой масти. Очевидно, что Р (А ) = 4/32 = 1/8. Вычислим величину вероятность того, что извлечённая карта –дама при условии, что эта карта пиковой масти, то есть Р (А/В ). Очевидно, что Р (А ÇВ ) = 1/32, и Р (В ) = 8/32. Тогда Р (А/В ) = Р (А ÇВ )/ Р (В ) = 1/8, то есть Р (А ) = Р (А/В ). Отсюда следует, что события А и В независимы.
Пусть событие С заключается в том, что извлечённая карта не туз. Покажем, что события А и С зависимы. Очевидно, что Р (А ÇС ) = Р (А ) = 1/8. Р (С ) = 28/32 = 7/8. Отсюда получаем Р (А/С ) = 1/7, и это не равно величине Р (А ), следовательно, события А и С зависимы.
Пример 6 . Рассмотрим задачу, аналогичную задаче из примера 2, но с одним дополнительным условием: вытащив первый шар, запоминаем его цвет и возвращаем шар в урну, после чего все шары перемешиваем. В данном случае результат второго извлечения никак не зависит от того, какой шар – черный или белый появился при первом извлечении. Вероятность появления первым белого шара (событие А ) равна 7/10. Вероятность события В – появления вторым черного шара – равна 3/10. Теперь формула умножения вероятностей дает: P (А ÇВ ) = 21/100.
Извлечение шаров способом, описанным в этом примере, называется выборкой с возвращением или возвратной выборкой.
Следует отметить, что если в задаче с шарами положить количество белых и черных шаров равным соответственно 7000 и 3000, то результаты расчетов тех же вероятностей будут отличаться пренебрежимо мало для возвратной и безвозвратной выборок.
Рассмотрим задачи на применение теорем сложения и умножения вероятностей.
1. Три стрелка стреляют в мишень. Каждый попадает в мишень или не попадает в мишень независимо от результатов выстрелов остальных стрелков. Первый стрелок попадает в мишень с вероятностью 0,9, второй – с вероятностью 0,8, а третий – с вероятностью 0,7. Найти вероятность того, что мишень будет поражена?
Вопрос можно поставить иначе: какова вероятность того, что хотя бы один стрелок попадёт в мишень? Очевидно, что мишень будет поражена, если все трое попадут в мишень, если в мишень попадут любые двое стрелков, а третий не попадёт и т. д. Пусть событие А состоит в том, что хотя бы один из стрелков попал в мишень. Тогда противоположное событие заключается в том, что все трое не попали в мишень . Если первый не попадает в мишень с вероятностью 0,1, второй – с вероятностью 0,2, а третий – с вероятностью 0,3, то по теореме умножения вероятностей Р() = 0,1×0,2×0,3 = 0,006. Тогда Р(А) = 1 – Р() = 0,994.
2. При включении двигатель начинает работать с вероятностью р . а) Найти вероятность того, что двигатель начнёт работать со второго включения.
б) Найти вероятность того, что для запуска двигателя потребуется не более двух включений.
а) Для того, чтобы двигатель начал работать со второго включения, нужно, во-первых, чтобы он не запустился при первом включении (событие А ). Это происходит с вероятностью 1 – р . При втором включении двигатель запустится (событие В ) с вероятностью р . Нас интересует вероятность события А ÇВ . Из условия задачи можно понять, что события А и В независимы. Отсюда P (А ÇВ ) = р (1 – р ).
б) Нас интересует вероятность события, состоящего в том, что двигатель запустится при первом включении или при втором включении. Противоположное событие заключается в том, что двигатель не запустится ни при первом, ни при втором включении. Вероятность этого противоположного события равна (1 – р ) 2 . Отсюда вероятность интересующего нас события равна 1 – (1 – р ) 2 .
3 . В семье Ивановых 4 ребёнка. Известно, что один из детей – мальчик. Найти вероятность того, что все дети – мальчики. Принять вероятность рождения мальчика и вероятность рождения девочки равными 1/2 и не зависящими от того, какого пола дети уже имеются в семье.
Пусть событие В состоит в том, что все дети в семье – мальчики, событие А состоит в том, что в семье есть хотя бы один мальчик (именно так мы должны понимать условие задачи). Нас интересует величина Р (В/А ). Для того, чтобы воспользоваться формулой условной вероятности, надо, во-первых, вычислить P (А ÇВ ). В нашем случае событие А является следствием события В , поэтому P (А ÇВ ) = Р (В ) (смотри объяснение к теме 2). По условию задачи Р (В ) = (1/2) 4 = 1/16. Чтобы вычислить Р (А ), заметим, что событие состоит в том, что все дети в семье –девочки. Очевидно, что Р () = (1/2) 4 = 1/16. Тогда Р (А ) = 1 – Р () = 15/16. Теперь можно воспользоваться формулой для определения условной вероятности Р (В /А ) = P (А ÇВ )/Р (А ). В результате получается Р (В /А ) = (1/16)/(15/16) = 1/15.
Если бы в условии этой задачи был поставлен вопрос “чему равна вероятность того, что все дети мальчики, при условии, что второй ребёнок – мальчик?”, то ответ был бы 1/8.
4 . В урне семь белых и три чёрных шара. Без возвращения извлекаются три шара. Известно, что среди них есть чёрный шар. Найти вероятность того, что другие два шара белые.
Пусть событие А состоит в том, что в выборке есть два белых шара, событие В – в том, что в выборке есть чёрный шар. Всего в условии задачи существует возможных исходов. Отсюда Р (А ÇВ ) = . Чтобы вычислить вероятность Р (В ), заметим, что состоит в том, что все извлечённые шары белые, и Р () = . Искомая вероятность равна ()/(1 – ) = 63/85.
5. Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Зачёт сдан, если студент ответит не менее чем на 3 из 4-х вопросов в билете. Взглянув на первый вопрос, студент обнаружил, что знает его. Какова вероятность, что студент сдаст зачёт?
Пусть А - событие, заключающееся в том, что студент сдал экзамен;
В - событие, заключающееся в том, что студент знает первый вопрос в билете.
Очевидно, что Р (В ) =20/25 = 4/5. Теперь необходимо определить вероятность Р (А ÇВ ). Из двадцати пяти вопросов можно составить различных билетов, содержащих четыре вопроса. Все билеты, выбор которых удовлетворял бы и событию А, и событию В , должны быть составлены следующим образом: либо студент знает все вопросы билета (можно составить всего таких билетов), либо студент знает первый, второй и третий вопросы, но не знает четвёртого (можно составить всего 5таких билетов), либо студент знает первый, второй и четвёртый вопросы, но не знает третьего (тоже 5билетов), либо студент знает первый, третий и четвёртый вопросы, но не знает второго (тоже 5билетов). Отсюда получаем, что
Р (А ÇВ ) =
Осталось только найти искомую вероятность р (А/В):
Р (А/В) =
Задачи для самостоятельного решения.
1) . Вероятность попасть в самолёт равна 0,4, вероятность его сбить равна 0,1. Найти вероятность того, что при попадании в самолёт он будет сбит.
2) . Из урны, содержащей 6 белых и 4 чёрных шара, наудачу извлекают по одному шару до появления чёрного шара. Найти вероятность того, что придётся производить четвёртое извлечение, если выборка производится а) с возвращением; б) без возвращения.
3) а) В условиях задачи 1 найти вероятность того, что в мишень попали двое стрелков. б) В условиях задачи 1 найти вероятность того, что в мишень попали не менее двух стрелков.
4) По самолёту производится три выстрела. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,5, при втором – 0,6, при третьем – 0,8. При одном попадании самолёт будет сбит с вероятностью 0,3, при двух – с вероятностью 0,6, при трёх самолёт будет сбит наверняка. Какова вероятность того, что самолёт будет сбит?
5) Вероятность того, что случайным образом выбранный из студенческой группы студент знает английский язык, равна 5/6. Вероятность того, что студент знает французский язык, равна 7/12. Вероятность того, что студент знает и английский и французский языки, равна 1/2. а) Найти вероятность того, что студент не знает французского языка при условии, что он не знает английского. б) Найти вероятность того, что студент знает французский язык при условии, что он знает английский.
Ответы. 1)1/4; 2) а) 0,216; б) 1/6; 3) а) 0,398; б) 0,902; 4) 0,594; 5) а) 0,5; б) 0,3.
Пусть А и В – два события, рассматриваемые в данном испытании. При этом наступление одного из событий может влиять на возможность наступления другого. Например, наступление события А может влиять на событие В или наоборот. Для учёта такой зависимости одних событий от других вводится понятие условной вероятности.
Определение. Если вероятность события В находится при условии, что событие А произошло, то получаемая вероятность события В называется условной вероятностью события В . Для обозначения такой условной вероятности используются символы: р А (В ) или р (В / А ).
Замечание 2 . В отличие от условной вероятности, рассматривается и “безусловная” вероятность, когда какие-либо условия наступления некоторого события В отсутствуют.
Пример . В урне 5 шаров, среди которых 3 красных и 2 синих. Поочерёдно из неё извлекают по одному шару с возвратом и без возврата. Найти условную вероятность извлечения во второй раз красного шара при условии, что в первый раз извлечён: а) красный шар; б) синий шар.
Пусть событие А – извлечение красного шара в первый раз, а событие В – извлечение красного шара во второй раз. Очевидно, что р (А ) = 3 / 5; тогда в случае, когда вынутый 1-й раз шар возвращается в урну, р (В )=3/5. В случае же когда вынутый шар не возвращается, вероятность извлечения красного шара р (В ) зависит от того, какой шар был извлечён в первый раз – красный (событие А ) или синий (событие ). Тогда в первом случае р А (В ) = 2 / 4, а во втором (В ) = 3 / 4.
Теорема умножения вероятностей событий, одно из которых совершается при условии совершения другого
Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденную в предположении, что первое событие произошло:
р (А ∙ В ) = р (А ) ∙ р А (В ) . (1.7)
Доказательство. Действительно, пусть n – общее число равновозможных и несовместных (элементарных) исходов испытания. И пусть n 1 – число исходов, благоприятствующих событию А , которое наступает вначале, а m – число исходов, в которых наступает событие В в предположении, что событие А наступило. Таким образом, m – это число исходов, благоприятствующих событию В. Тогда получим:
Т.е. вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятности одного из этих событий на условные вероятности других, причём условная вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события произошли.
Пример. В команде из 10 спортсменов 4 мастера спорта. По жеребьёвке из команды выбирают 3-х спортсменов. Какова вероятность того, что все выбранные спортсмены – мастера спорта?
Решение. Приведём задачу к “урновой” модели, т.е. будем считать, что в урне, содержащей 10 шаров, имеется 4 красных шара и 6 белых. Из этой урны наудачу извлекаются 3 шара (выборка S = 3). Пусть событие А состоит в извлечении 3-х шаров. Задачу можно решить двумя способами: по классической схеме и по формуле (1.9).
Первый способ, основанный на формуле комбинаторики:
Второй способ (по формуле (1.9)). Из урны последовательно без возвращения извлекаются 3 шара. Пусть А 1 – первый извлечённый шар красный, А 2 – второй извлечённый шар красный, А 3 – третий извлечённый шар красный. Пусть также событие А означает, что все 3 извлечённых шара – красные. Тогда: А = А 1 ∙ (А 2 / А 1) ∙ А 3 / (А 1 ∙ А 2), т.е.
Пример. Пусть из совокупности карточек а, а, р, б, о, т последовательно извлекаются карточки по одной. Какова вероятность получения слова “работа ” при последовательном складывании их в одну строку слева направо?
Пусть В – событие, при котором получается заявленное слово. Тогда по формуле (1.9) получим:
р (В ) = 1/6 ∙ 2/5 ∙ 1/4 ∙ 1/3 ∙ 1/2 ∙ 1/1 = 1/360.
Теорема умножения вероятностей приобретает наиболее простой вид, когда произведение образуется независимыми друг от друга событиями.
Определение. Событие В называется независимым от события А , если его вероятность не меняется от того, произошло событие А или нет. Два события называются независимыми (зависимыми), если появление одного из них не изменяет (изменяет) вероятность появления другого. Таким образом, для независимых событий р(В/ A ) = р (В ) или = р (В ), а для зависимых событий р (В/ A )
Все теоремы и формулы теории вероятностей и математической статистики выводятся из аксиом теории вероятностей. В этой главе дается определение условной вероятности, доказываются наиболее часто используемые теоремы и формулы, основанные на условных вероятностях. Вводится понятие независимости событий, которое затем используется в схеме последовательных независимых испытаний, а также дается описание марковской схемы с зависимыми испытаниями.
УСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ
В § 1.1 формула условной вероятности была выведена для классической схемы. В общем случае эта формула служит определением условной вероятности события А при условии, что произошло событие В , Р(В) > 0.
Определение 2.1. Условная вероятность события А при условии В
Определение 2.2. Событие А не зависит от события В, если
Независимость событий взаимна, т.е. если событие А не зависит от В, то и событие В не зависит от А. В самом деле, используя определения 2.1 и 2.2, при Р(А) > 0 имеем:
Из определения 2.1 вытекает следующая формула умножения вероятностей:
Для независимых событий вероятность произведения событий равна произведению их вероятностей:
Определение 2.3.
События А, А
2 ,..., А„
образуют полную группу событий, если они попарно несовместны и вместе образуют достоверное событие, т.е.
Имеет место следующая теорема полной вероятности.
Теорема 2.1. Если события А и ..., А„, Р(А) > 0 образуют полную группу событий, то вероятность события В может быть представлена как сумма произведений безусловных вероятностей событий полной группы на условные вероятности события В:
События полной группы А„ ..., А„ попарно несовместны, поэтому попарно несовместны и их произведения (пересечения) с событием В, т.е. события В П А/, В П Л, при i Ф j несовместны. Так как событие В можно представить в виде
то, применив к этому разложению события В
аксиому сложения вероятностей, имеем:
Используя формулу умножения вероятностей (2.1.1) для каждого слагаемого, окончательно получаем:
Требование, состоящее в том, что события Л, образуют полную группу событий, может быть заменено более слабым: события попар-
но не пересекаются, Bcz^A r Кроме того, на основе аксиомы счет-
ной аддитивности теорему полной вероятности можно распространить и на счетное множество попарно непересекающихся событий А,-,
Р(А,)> 0, tfcQ/l, :
Из формулы полной вероятности (2.1.3) легко получить формулу Байеса: для события В с Р(В) > 0 и для системы попарно несовмест-
пых событий А„ Р(Л,) > 0,BczJ А,.,
В самом деле, применив формулы условной вероятности и умножения вероятностей, имеем:
теперь, заменив вероятность события В по формуле полной вероятности, получаем формулу (2.1.5).
Вероятности Р(А,) событий И, называют априорными вероятностями, т.е. вероятностями событий до выполнения опыта, а условные вероятности этих событий Р(А,!В) - апостериорными, т.е. уточненными в результате опыта, исходом которого послужило появление события В.
Пример 2.1. Расчет по формула и полной вероятности и Байеса
На предприятии изготовляются изделия определенного вида на трех поточных линиях. На первой линии производится 20% изделий от всего объема их производства, на второй - 30%, на третьей - 50%. Каждая из линий характеризуется соответственно следующими процентами годности изделий: 95, 98 и 97%. Требуется определить вероятность того, что наугад взятое изделие, выпущенное предприятием, окажется бракованным, а также вероятности того, что это бракованное изделие сделано на первой, второй и третьей линиях.
Решение. Обозначим через А„ Л 2 , А } события, состоящие в том, что наугад взятое изделие произведено соответственно на первой, второй и третьей линиях. Согласно условиям задачи Р(А ,) = 0,2; Р(А 2) = 0,3; Р(А }) = 0,5, и эти события образуют полную группу событий, поскольку они попарно несовместны, т.е. Р(А ,) + Р(Л 2) + Р(Л 3) = 1.
Обозначим через В событие, состоящее в том, что наугад взятое изделие оказалось бракованным. Согласно условиям задачи P(B/A t) = = 0,05; Р(В/А 2) = 0,02; Р(В/А 3) = 0,03.
т.е. вероятность того, что наугад взятое изделие окажется бракованным, равна 3,1%.
Априорные вероятности того, что наугад взятое изделие изготовлено на первой, второй или третьей линии, равны соответственно 0,2; 0,3 и 0,5.
Допустим, что в результате опыта наугад взятое изделие оказалось бракованным; определим теперь апостериорные вероятности того, что это изделие изготовлено на первой, второй или третьей линиях. По формуле Байеса имеем:
Таким образом, вероятности того, что наугад взятое и оказавшееся бракованным изделие изготовлено на первой, второй или третьей линии, равны соответственно 0,322; 0,194; 0,484.
Формула умножения вероятностей (2.1.1) может быть распространена на случай произвольного конечного числа событий:
Определение 2.4. События А ь А 2 , ..., А„ независимы в совокупности, если для любого их подмножества
Если это условие выполнено только для к = 2, то события попарно независимы.
Из независимости событий в совокупности вытекает попарная независимость, а из попарной независимости не следует независимость в совокупности.
Условной вероятностью события A при выполнении события B называется отношение Здесь предполагается, что .
В качестве разумного обоснования этого определения отметим, что при наступлении события B оно начинает играть роль достоверного события, поэтому надо потребовать, чтобы . Роль события A играет AB, поэтому должна быть пропорциональна . (Из определения следует, что коэффициент пропорциональности равен .)
Теперь введем понятие независимости событий.
Это означает: оттого что произошло событие B , вероятность события A не изменилась.
С учетом определения условной вероятности, это определение сведется к соотношению . Здесь уже нет необходимости требовать выполнения условия . Таким образом, приходим к окончательному определению.
События A и B называются независимыми, если P (AB ) = P (A )P (B ).
Последнее соотношение обычно и принимают за определение независимости двух событий.
Несколько событий называются независимыми в совокупности, если подобные соотношения выполняются для любого подмножества рассматриваемых событий. Так, например, три события A, B и C называются независимыми в совокупности, если выполняются следующие четыре соотношения:
Приведем ряд задач на условную вероятность и независимость событий и их решения.
Задача 21. Из полной колоды из 36 карт вытаскивают одну карту. Событие A – карта красная, B – карта туз. Будут ли они независимы?
Решение. Проведя вычисления согласно классическому определению вероятности, получим, что . Это означает, что события A и B независимы.
Задача 22 . Решить ту же задачу для колоды, из которой удалена пиковая дама.
Решение . . Независимости нет.
Задача 23. Двое поочередно бросают монету. Выигрывает тот, у которого первым выпадет герб. Найти вероятности выигрыша для обоих игроков.
Решение. Можно считать, что элементарные события – это конечные последовательности вида (0, 0, 1,…, 0, 1). Для последовательности длины соответствующее элементарное событие имеет вероятность Игрок, начинающий бросать монету первым, выигрывает, если реализуется элементарное событие , состоящее из нечетного числа нулей и единиц. Поэтому вероятность его выигрыша равна
Выигрыш второго игрока соответствует четному числу нулей и единиц. Он равен
Из решения следует, что игра заканчивается за конечное время с вероятностью 1 (так как ).
Задача 24. Для того чтобы разрушить мост, нужно попадание не менее 2 бомб. Сбросили 3 бомбы. Вероятности попадания бомб равны соответственно 0, 1; 0, 3; 0, 4. Найти вероятность разрушения моста.
Решение. Пусть события A, B, C состоят в попадании 1-й, 2-й, 3-й бомбы соответственно. Тогда разрушение моста происходит только при реализации события В силу того что слагаемые в этой формуле попарно несовместны, а сомножители в слагаемых независимы, искомая вероятность равна
0,1∙0,3∙0,4 + 0,1∙0,3∙0,6 + 0,1∙0,7∙0,4 + 0,9∙0,3∙0,4 = 0,166.
Задача 25. К одному и тому же причалу должны пришвартоваться два грузовых судна. Известно, что каждое из них может с равной вероятностью подойти в любой момент фиксированных суток и должно разгружаться 8 ч. Найти вероятность того, что судну, пришедшему вторым, не придется дожидаться, пока закончит разгрузку первое судно.
Решение. Будем время измерять в сутках и долях суток. Тогдаэлементарные события – это пары чисел , заполняющие единичный квадрат, где x – время прихода первого судна, y – время прихода второго судна. Все точки квадрата равновероятны. Это означает, что вероятность любого события (т. е. множества из единичного квадрата) равна площади области, соответствующей этому событию. Событие A состоит из точек единичного квадрата, для которых выполняется неравенство . Это неравенство соответствует тому, что судно, пришедшее первым, успеет разгрузиться к моменту прихода второго судна. Множество этих точек образует два прямоугольных равнобедренных треугольника со стороной 2/3. Суммарная площадь этих треугольников равна 4/9. Таким образом, .
Задача 26. На экзамене по теории вероятностей было 34билета. Студент дважды извлекает по одному билету из предложенных билетов (не возвращая их). Студент подготовился лишь по 30-ти билетам? Какова вероятность того, что он сдаст экзамен, выбрав в первый раз «неудачный » билет?
Решение. Случайный выбор состоит в том, что два раза подряд извлекают по одному билету, причем вытянутый в первый раз билет назад не возвращается. Пусть событие В состоит в том, что первым вынут «неудачный» билет, а событие А состоит в том, что вторым вынут «удачный » билет. Очевидно, что события А и В зависимы, так как извлеченный в первый раз билет не возвращается в число всех билетов. Требуется найти вероятность события АВ .
По формуле условной вероятности ; ; , поэтому .
Лекция 4
Принцип практической невозможности маловероятных событий
Если случайное событие имеет очень маленькую вероятность, то практически можно считать, что в единичном испытании это событие не наступит. Все зависит от конкретной задачи. Если вероятность нераскрытия парашюта 0,01, то такой парашют применять нельзя. Если электричка опоздает с вероятностью 0,01 то можно быть уверенным что она прибудет вовремя.
Достаточно малую вероятность, при которой в данной задаче событие можно считать практически невозможным, называют уровнем значимости. На практике обычно принимают уровни значимости от 0,01 до 0,05.
Если случайное событие имеет вероятность очень близкую к единице, то практически можно считать, что в единичном испытании это событие наступит.
Условная вероятность
Произведением двух событий A и B называют событие АВ, состоящее в совместном появлении (совмещении) этих событий. Например, если A - деталь годная, В - деталь окрашенная, то АВ - деталь годна и окрашена.
Произведением нескольких событий называют событие, состоящее в совместном появлении всех этих событ ий. Например, если A , B , C - появление «герба» соответственно в первом, втором и третьем бросаниях монеты, то ABC - выпадение «герба» во всех трех испытаниях.
Во введении случайное событие определено как событие, которое при осуществлении совокупности условий S может произойти или не произойти.
Если при вычислении вероятности события никаких других ограничений, кроме условий S, не налагается, то такую вероятность называют безусловной ; если же налагаются и другие дополнительные условия, то вероятность события называют условной.
Например, часто вычисляют вероятность события B при дополнительном условии, что произошло событие A . Безусловная вероятность, строго говоря, является условной, поскольку предполагается осуществление условий S.
Условной вероятностью Р A (В) или называют вероятность события B, вычисленную в предположении, что событие A уже наступило
Условная вероятность вычисляется по формуле
Эту формулу можно доказать исходя из классического определения вероятности.
Пример 3. В урне 3 белых и 3 черных шара. Из урны дважды вынимают по одному шару, не возвращая их обратно. Найти вероятность появления белого шара при втором испытании (событие В ), если при первом испытании был извлечен черный шар (событие А ).
Решение . После первого испытания в урне осталось 5 шаров, из них 3 белых. Искомая условная вероятность Р А (В ) = 3/5.
Этот же результат можно получить по формуле
Р A (В ) =P (АВ )/P (А) (P (А ) > 0).
Действительно, вероятность появления белого шара при первом испытании
P (A ) = 3/6 =1/2.
Найдем вероятность P (АВ ) того, что в первом испытании появится черный шар, а во втором - белый по формуле (3.1). Общее число исходов - совместного появления двух шаров, безразлично какого цвета, равно числу размещений = 6 5 = 30. Из этого числа исходов событию АВ благоприятствуют 3 3=9 исходов. Следовательно, P (АВ ) =9/30 = 3/10.
Условная вероятность P А (В ) =P (АВ )/Р (А ) = (3/10)/(1/2) = 3/5. Получен прежний результат.
